Què són els fractals: la bellesa de les matemàtiques i l'infinit

2024 Autora: Seth Attwood | [email protected]. Última modificació: 2023-12-16 16:00

Els fractals són coneguts des de fa un segle, han estat ben estudiats i tenen nombroses aplicacions a la vida. Tanmateix, aquest fenomen es basa en una idea molt senzilla: una multitud de formes, infinites en bellesa i varietat, es poden obtenir a partir d'estructures relativament simples utilitzant només dues operacions: copiar i escalar.

Què tenen en comú un arbre, una vora del mar, un núvol o els vasos sanguinis que tenim a la mà? A primera vista, pot semblar que tots aquests objectes no tenen res en comú. Tanmateix, de fet, hi ha una propietat d'estructura inherent a tots els objectes enumerats: són autosimilars. De la branca, així com del tronc de l'arbre, hi ha branques més petites, d'elles, fins i tot més petites, etc., és a dir, la branca és com tot l'arbre.

El sistema circulatori s'organitza de manera similar: les arterioles surten de les artèries i d'elles, els capil·lars més petits a través dels quals l'oxigen entra als òrgans i teixits. Mirem les imatges de satèl·lit de la costa del mar: veurem badies i penínsules; fem-hi una ullada, però a vista d'ocell: veurem badies i caps; Ara imaginem-nos que estem a la platja mirant els nostres peus: sempre hi ha còdols que sobresurten a l'aigua més que la resta.

És a dir, la costa es manté semblant a si mateixa quan s'apropa. El matemàtic nord-americà (encara que es va criar a França) Benoit Mandelbrot va anomenar aquesta propietat dels objectes fractalitat, i aquests mateixos objectes: fractals (del llatí fractus - trencat).

Què és un fractal?

Aquest concepte no té una definició estricta. Per tant, la paraula "fractal" no és un terme matemàtic. Normalment, un fractal és una figura geomètrica que satisfà una o més de les propietats següents: • Té una estructura complexa amb qualsevol augment (a diferència, per exemple, d'una línia recta, qualsevol part de la qual és la figura geomètrica més simple: una segment de línia). • És (aproximadament) autosimilar. • Té una dimensió fraccional de Hausdorff (fractal), que és més gran que la topològica. • Es pot construir amb procediments recursius.

Geometria i àlgebra

L'estudi dels fractals al tombant dels segles XIX i XX era més aviat episòdic que sistemàtic, perquè els matemàtics anteriors estudiaven principalment objectes "bons" susceptibles d'investigar mitjançant mètodes i teories generals. El 1872, el matemàtic alemany Karl Weierstrass construeix un exemple de funció contínua que no és diferenciable enlloc. Tanmateix, la seva construcció era totalment abstracta i difícil de percebre.

Per tant, el 1904, el suec Helge von Koch va inventar una corba contínua, que no té tangent enlloc, i és bastant senzill de dibuixar. Va resultar que té les propietats d'un fractal. Una de les variants d'aquesta corba s'anomena "floc de neu Koch".

Les idees d'autosemblança de figures van ser recollides pel francès Paul Pierre Levy, el futur mentor de Benoit Mandelbrot. L'any 1938, va publicar el seu article "Corbes i superfícies planes i espacials, que consisteixen en parts similars al conjunt", que descriu un altre fractal: la corba C de Lévy. Tots aquests fractals anteriors es poden atribuir condicionalment a una classe de fractals constructius (geomètrics).

Una altra classe són els fractals dinàmics (algebraics), que inclouen el conjunt de Mandelbrot. Els primers estudis en aquesta direcció van començar a principis del segle XX i estan associats amb els noms dels matemàtics francesos Gaston Julia i Pierre Fatou. El 1918 es va publicar la memòria de gairebé dues-centes pàgines de Júlia, dedicada a iteracions de funcions racionals complexes, en la qual es descriuen els conjunts de Júlia: tota una família de fractals estretament relacionats amb el conjunt de Mandelbrot. Aquesta obra va ser guardonada amb el premi de l'Acadèmia Francesa, però no contenia ni una il·lustració, per la qual cosa era impossible apreciar la bellesa dels objectes descoberts.

Tot i que aquest treball va glorificar Júlia entre els matemàtics de l'època, es va oblidar ràpidament. No va ser fins mig segle després que els ordinadors van tornar a cridar l'atenció: van ser ells els que van fer visible la riquesa i la bellesa del món dels fractals.

Dimensions fractals

Com sabeu, la dimensió (nombre de mesures) d'una figura geomètrica és el nombre de coordenades necessàries per determinar la posició d'un punt situat sobre aquesta figura.

Per exemple, la posició d'un punt en una corba està determinada per una coordenada, sobre una superfície (no necessàriament un pla) per dues coordenades, en l'espai tridimensional per tres coordenades.

Des d'un punt de vista matemàtic més general, podeu definir la dimensió d'aquesta manera: un augment de dimensions lineals, per exemple, dues vegades, per a objectes unidimensionals (des del punt de vista topològic) (segment) comporta un augment de mida. (longitud) dues vegades, per a bidimensional (quadrat) el mateix augment de les dimensions lineals condueix a un augment de la mida (àrea) per 4 vegades, per a tridimensional (cub) - per 8 vegades. És a dir, la dimensió "real" (anomenada Hausdorff) es pot calcular com la relació entre el logaritme d'un augment de la "mida" d'un objecte i el logaritme d'un augment de la seva mida lineal. És a dir, per al segment D = log (2) / log (2) = 1, per al pla D = log (4) / log (2) = 2, per al volum D = log (8) / log (2) = 3.

Calculem ara la dimensió de la corba de Koch, per a la construcció de la qual el segment unitari es divideix en tres parts iguals i l'interval mitjà se substitueix per un triangle equilàter sense aquest segment. Amb un augment de les dimensions lineals del segment mínim tres vegades, la longitud de la corba de Koch augmenta en log (4) / log (3) ~ 1, 26. És a dir, la dimensió de la corba de Koch és fraccional!

Ciència i art

L'any 1982 es va publicar el llibre de Mandelbrot "La geometria fractal de la natura", en el qual l'autor recollia i sistematitzava quasi tota la informació disponible en aquell moment sobre els fractals i la presentava d'una manera fàcil i accessible. En la seva presentació, Mandelbrot va posar l'accent principal no en fórmules feixugues i construccions matemàtiques, sinó en la intuïció geomètrica dels lectors. Gràcies a les il·lustracions generades per ordinador i als contes històrics, amb els quals l'autor va diluir hàbilment el component científic de la monografia, el llibre es va convertir en un best-seller i els fractals es van donar a conèixer al gran públic.

El seu èxit entre els no matemàtics es deu en gran part al fet que amb l'ajuda de construccions i fórmules molt senzilles que un estudiant de secundària pot entendre, s'obtenen imatges d'una complexitat i bellesa sorprenents. Quan els ordinadors personals es van fer prou potents, fins i tot va aparèixer tota una tendència en l'art: la pintura fractal, i gairebé qualsevol propietari d'ordinadors ho podia fer. Ara a Internet, podeu trobar fàcilment molts llocs dedicats a aquest tema.

Guerra i pau

Com s'ha assenyalat anteriorment, un dels objectes naturals amb propietats fractals és la costa. Una història interessant està relacionada amb ell, o millor dit, amb un intent de mesurar-ne la longitud, que va ser la base de l'article científic de Mandelbrot, i que també es descriu al seu llibre "La geometria fractal de la natura".

Aquest és un experiment que va ser posat en escena per Lewis Richardson, un matemàtic, físic i meteoròleg molt talentós i excèntric. Una de les direccions de la seva recerca va ser un intent de trobar una descripció matemàtica de les causes i la probabilitat d'un conflicte armat entre els dos països. Entre els paràmetres que va tenir en compte hi havia la longitud de la frontera comuna dels dos països en guerra. Quan va recollir dades per a experiments numèrics, va trobar que en diferents fonts les dades sobre la frontera comuna entre Espanya i Portugal són molt diferents.

Això el va portar a descobrir el següent: la longitud de les fronteres d'un país depèn de la regla amb què les mesurem. Com més petita és l'escala, més llarga és la vora. Això es deu al fet que amb un augment més elevat es fa possible tenir en compte cada cop més corbes costaneres, que abans eren ignorades per la rugositat de les mesures. I si, amb cada augment d'escala, s'obriran els corbes de les línies que abans no es comptabilitzen, llavors resulta que la longitud dels límits és infinita! És cert que en realitat això no passa: la precisió de les nostres mesures té un límit finit. Aquesta paradoxa s'anomena efecte Richardson.

Fractals constructius (geomètrics)

L'algorisme per construir un fractal constructiu en el cas general és el següent. En primer lloc, necessitem dues formes geomètriques adequades, anomenem-les una base i un fragment. En la primera etapa, es representa la base del futur fractal. A continuació, algunes de les seves parts es substitueixen per un fragment pres a una escala adequada: aquesta és la primera iteració de la construcció. Aleshores, la figura resultant torna a canviar algunes parts en figures semblants a un fragment, i així successivament. Si continuem aquest procés indefinidament, aleshores al límit obtenim un fractal.

Considerem aquest procés utilitzant la corba de Koch com a exemple. Com a base per a la corba de Koch, podeu prendre qualsevol corba (per al "floc de neu de Koch" és un triangle). Però ens limitarem al cas més simple: un segment. Un fragment és una línia trencada que es mostra a la part superior de la figura. Després de la primera iteració de l'algorisme, en aquest cas, el segment inicial coincidirà amb el fragment, després cadascun dels seus segments constitutius serà substituït per una línia trencada, semblant a un fragment, etc. La figura mostra els quatre primers passos de l'algorisme. aquest procés.

En el llenguatge de les matemàtiques: fractals dinàmics (algebraics)

Els fractals d'aquest tipus sorgeixen en l'estudi de sistemes dinàmics no lineals (d'aquí el nom). El comportament d'aquest sistema es pot descriure mitjançant una funció no lineal complexa (polinomi) f (z). Agafeu un punt de partida z0 al pla complex (vegeu la barra lateral). Considereu ara una seqüència infinita de nombres en el pla complex, cadascun dels quals s'obté de l'anterior: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).).

Segons el punt inicial z0, aquesta seqüència pot comportar-se de manera diferent: tendeix a l'infinit com n -> ∞; convergir a algun punt final; prendre cíclicament una sèrie de valors fixos; també són possibles opcions més complexes.

Nombres complexos

Un nombre complex és un nombre format per dues parts: real i imaginària, és a dir, la suma formal x + iy (aquí x i y són nombres reals). jo és l'anomenat. unitat imaginària, és a dir, un nombre que compleix l'equació i ^ 2 = -1. Les operacions matemàtiques bàsiques es defineixen sobre nombres complexos: suma, multiplicació, divisió, resta (només no es defineix l'operació de comparació). Per mostrar nombres complexos, sovint s'utilitza una representació geomètrica: al pla (s'anomena complex), la part real es col·loca a l'abscissa i la part imaginària a l'ordenada, mentre que el nombre complex correspondrà a un punt amb cartesià. coordenades x i y.

Així, qualsevol punt z del pla complex té el seu propi caràcter de comportament durant les iteracions de la funció f (z), i tot el pla es divideix en parts. En aquest cas, els punts situats als límits d'aquestes parts tenen la propietat següent: per a un desplaçament arbitràriament petit, la naturalesa del seu comportament canvia bruscament (aquests punts s'anomenen punts de bifurcació). Per tant, resulta que els conjunts de punts amb un tipus específic de comportament, així com els conjunts de punts de bifurcació, sovint tenen propietats fractals. Aquests són els conjunts de Julia per a la funció f (z).

Família de dracs

Variant la base i el fragment, podeu obtenir una varietat sorprenent de fractals constructius.

A més, es poden realitzar operacions similars en l'espai tridimensional. Exemples de fractals volumètrics són l'esponja de Menger, la piràmide de Sierpinski i altres.

La família del drac també es coneix com a fractals constructius. De vegades s'anomenen amb el nom dels descobridors "dracs de la carretera-Harter" (en la seva forma s'assemblen als dracs xinesos). Hi ha diverses maneres de traçar aquesta corba. El més senzill i intuïtiu d'ells és el següent: cal agafar una tira de paper prou llarga (com més prima sigui el paper, millor) i doblegar-la per la meitat. A continuació, doblegueu-lo dues vegades en la mateixa direcció que la primera vegada.

Després de diverses repeticions (generalment després de cinc o sis plecs, la tira es torna massa gruixuda per doblegar-la més acuradament), heu de desdoblar la tira cap enrere i intentar formar angles de 90˚ als plecs. Aleshores, la corba del drac sortirà de perfil. Per descomptat, això només serà una aproximació, com tots els nostres intents de representar objectes fractals. L'ordinador us permet representar molts més passos d'aquest procés i el resultat és una figura molt bonica.

El conjunt de Mandelbrot està construït d'una manera lleugerament diferent. Considereu la funció fc (z) = z ^ 2 + c, on c és un nombre complex. Construïm una seqüència d'aquesta funció amb z0 = 0, depenent del paràmetre c, pot divergir fins a l'infinit o romandre acotada. A més, tots els valors de c per als quals està limitada aquesta seqüència formen el conjunt de Mandelbrot. Va ser estudiat en detall pel mateix Mandelbrot i altres matemàtics, que van descobrir moltes propietats interessants d'aquest conjunt.

Es veu que les definicions dels conjunts de Julia i Mandelbrot són semblants entre si. De fet, aquests dos conjunts estan estretament relacionats. És a dir, el conjunt de Mandelbrot són tots els valors del paràmetre complex c pel qual està connectat el conjunt de Julia fc (z) (un conjunt s'anomena connectat si no es pot dividir en dues parts disjuntives, amb algunes condicions addicionals).

Fractals i vida

Avui dia, la teoria dels fractals s'utilitza àmpliament en diversos camps de l'activitat humana. A més d'un objecte purament científic per a la investigació i la ja esmentada pintura fractal, els fractals s'utilitzen en teoria de la informació per comprimir dades gràfiques (aquí s'utilitza principalment la propietat d'auto-semblança dels fractals, després de tot, per recordar un petit fragment de un dibuix i transformacions amb les quals es pot aconseguir la resta de peces, es necessita molta menys memòria que per emmagatzemar el fitxer sencer).

Afegint pertorbacions aleatòries a les fórmules que defineixen el fractal, es poden obtenir fractals estocàstics que transmeten de manera molt plausible alguns objectes reals: elements en relleu, la superfície dels cossos d'aigua, algunes plantes, que s'utilitza amb èxit en física, geografia i gràfics per ordinador per aconseguir una major semblança d'objectes simulats amb reals. En electrònica, es produeixen antenes que tenen forma fractal. Ocupant poc espai, proporcionen una recepció de senyal d'alta qualitat.

Els economistes utilitzen fractals per descriure les corbes de tipus de canvi (una propietat descoberta per Mandelbrot). Això conclou aquesta petita excursió al món increïblement bonic i divers dels fractals.