Forma plana, esfèrica o hiperbòlica del nostre Univers?

2024 Autora: Seth Attwood | [email protected]. Última modificació: 2023-12-16 16:00

Segons el nostre punt de vista, l'univers és infinit. Avui sabem que la Terra té la forma d'una esfera, però poques vegades pensem en la forma de l'Univers. En geometria, hi ha moltes formes tridimensionals com a alternativa a l'espai infinit "familiar". Els autors expliquen la diferència en la forma més accessible.

Mirant el cel nocturn, sembla que l'espai continua per sempre en totes direccions. Així és com ens imaginem l'Univers, però no el fet que sigui veritat. Al cap i a la fi, hi va haver un temps en què tothom pensava que la Terra era plana: la curvatura de la superfície terrestre és imperceptible, i la idea que la Terra és rodona semblava incomprensible.

Avui sabem que la Terra té forma d'esfera. Però poques vegades pensem en la forma de l'univers. A mesura que l'esfera va substituir la terra plana, altres formes tridimensionals ofereixen alternatives a l'espai infinit "familiar".

Es poden fer dues preguntes sobre la forma de l'univers: separades però interrelacionades. Un és sobre geometria: càlculs meticulosos d'angles i àrees. Un altre és sobre la topologia: com les parts separades es fusionen en una sola forma.

Les dades cosmològiques suggereixen que la part visible de l'Univers és llisa i homogènia. L'estructura local de l'espai sembla gairebé la mateixa en tots els punts i en totes les direccions. Només tres formes geomètriques corresponen a aquestes característiques: plana, esfèrica i hiperbòlica. Fem una ullada a aquestes formes al seu torn, algunes consideracions topològiques i conclusions basades en dades cosmològiques.

Univers pla

De fet, això és geometria escolar. Els angles d'un triangle sumen 180 graus i l'àrea d'un cercle és πr2. L'exemple més senzill d'una forma plana tridimensional és un espai infinit ordinari, els matemàtics l'anomenen euclidià, però hi ha altres opcions planes.

No és fàcil imaginar aquestes formes, però podem connectar la nostra intuïció pensant en dues dimensions en comptes de tres. A més del pla euclidià habitual, podem crear altres formes planes tallant un tros del pla i enganxant-ne les vores. Suposem que retallem un tros de paper rectangular i enganxem les vores oposades amb cinta adhesiva. Si enganxeu la vora superior a la vora inferior, obtindreu un cilindre.

També podeu enganxar la vora dreta a l'esquerra; aleshores obtenim un bunyol (els matemàtics anomenen aquesta forma torus).

Probablement us oposareu: "Alguna cosa no és gaire plana". I tindràs raó. Estàvem fent trampes una mica sobre el torus pla. Si realment intenteu fer un torus amb un tros de paper d'aquesta manera, trobareu algunes dificultats. És fàcil fer un cilindre, però no funcionarà per enganxar-ne els extrems: el paper s'arrugarà al llarg del cercle interior del torus, però no serà suficient per al cercle exterior. Així que has d'agafar algun tipus de material elàstic. Però l'estirament canvia la longitud i els angles, i per tant tota la geometria.

És impossible construir un torus físic suau real a partir d'un material pla dins d'un espai tridimensional normal sense distorsionar la geometria. Queda per especular de manera abstracta sobre com és viure dins d'un torus pla.

Imagineu que sou un ésser bidimensional l'univers del qual és un torus pla. Com que la forma d'aquest univers es basa en un full de paper pla, tots els fets geomètrics als quals estem acostumats segueixen sent els mateixos, almenys a escala limitada: els angles d'un triangle sumen 180 graus, etc. Però amb el canvi de la topologia global mitjançant el retall i l'enganxament, la vida canviarà dràsticament.

Per començar, el torus té línies rectes que s'enrotllen i tornen al punt de partida.

En un tor distorsionat, semblen corbats, però als habitants d'un tor pla, semblen rectes. I com que la llum viatja en línia recta, llavors si mires directament en qualsevol direcció, et veuràs des del darrere.

És com si, al paper original, la llum passés a través de tu, anés a la vora esquerra, i després reaparés a la dreta, com en un videojoc.

Aquí hi ha una altra manera de pensar-ho: tu (o un raig de llum) creues una de les quatre vores i et trobes en una habitació nova, però de fet és la mateixa habitació, només que des d'un punt de vista diferent. Deambulant per aquest univers, trobareu una infinitat de còpies de l'habitació original.

Això vol dir que agafaràs un nombre infinit de còpies de tu mateix allà on miris. Això és una mena d'efecte mirall, només que aquestes còpies no són exactament reflexos.

Al torus, cadascun d'ells correspon a un o altre bucle, al llarg del qual la llum torna cap a tu.

De la mateixa manera, obtenim un torus pla tridimensional enganxant les cares oposades d'un cub o una altra caixa. No podrem representar aquest espai dins d'un espai infinit ordinari, simplement no encaixarà, però podrem especular de manera abstracta sobre la vida dins d'ell.

Si la vida en un torus bidimensional és com una matriu interminable de dues dimensions d'habitacions rectangulars idèntiques, aleshores la vida en un torus tridimensional és com una matriu tridimensional interminable d'habitacions cúbiques idèntiques. Tu també veuràs un nombre infinit de còpies pròpies.

El tor tridimensional és només una de les deu variants del món pla finit. També hi ha infinits mons plans, per exemple, un anàleg tridimensional d'un cilindre infinit. Cadascun d'aquests mons tindrà la seva pròpia "sala del riure" amb "reflexions".

El nostre univers podria ser una de les formes planes?

Quan mirem a l'espai, no veiem un nombre infinit de les nostres pròpies còpies. En qualsevol cas, eliminar les formes planes no és fàcil. En primer lloc, tots tenen la mateixa geometria local que l'espai euclidià, de manera que no serà possible distingir-los amb mesures locals.

Suposem que fins i tot heu vist la vostra pròpia còpia, aquesta imatge llunyana només mostra com us veieu vosaltres (o la vostra galàxia en conjunt) en un passat llunyà, ja que la llum ha recorregut un llarg camí fins que us va arribar. Potser fins i tot veiem les nostres pròpies còpies, però canviades més enllà del reconeixement. A més, diferents còpies es troben a diferents distàncies de tu, de manera que no són iguals. I a més, tan lluny que encara no veurem res.

Per evitar aquestes dificultats, els astrònoms no solen buscar còpies d'ells mateixos, sinó repetir característiques en el fenomen visible més llunyà: la radiació còsmica de fons de microones, aquesta és una relíquia del Big Bang. A la pràctica, això vol dir buscar parells de cercles amb patrons coincidents de punts calents i freds; se suposa que són els mateixos, només de diferents costats.

Els astrònoms van fer aquesta recerca el 2015 gràcies al telescopi espacial Planck. Van reunir dades sobre els tipus de cercles coincidents que esperem veure dins d'un torus 3D pla o una altra forma 3D plana, una anomenada placa, però no van trobar res. Això vol dir que si vivim en un torus, llavors sembla que és tan gran que qualsevol fragment que es repeteixi es troba fora de l'univers observable.

Forma esfèrica

Estem molt familiaritzats amb les esferes bidimensionals: aquesta és la superfície d'una bola, una taronja o la Terra. Però, i si el nostre univers és una esfera tridimensional?

Dibuixar una esfera tridimensional és difícil, però és fàcil descriure-la amb una simple analogia. Si una esfera bidimensional és una col·lecció de tots els punts a una distància fixa des d'algun punt central de l'espai tridimensional ordinari, una esfera tridimensional (o "trisfera") és una col·lecció de tots els punts a una distància fixa d'alguns punts. punt central de l'espai quadridimensional.

La vida dins d'una trisfera és molt diferent de la vida a l'espai pla. Per visualitzar-ho, imagina que ets un ésser bidimensional en una esfera bidimensional. L'esfera bidimensional és l'Univers sencer, per tant no podeu veure l'espai tridimensional que us envolta i no podeu entrar-hi. En aquest univers esfèric, la llum viatja pel camí més curt: en grans cercles. Però aquests cercles us semblen directes.

Ara imagineu-vos que vosaltres i el vostre amic 2D passeu l'estona al pol nord i ell va sortir a passejar. Allunyant-se, al principi anirà disminuint gradualment en el vostre cercle visual, com en el món normal, encara que no tan ràpidament com estem acostumats. Això es deu al fet que a mesura que el teu cercle visual creix, el teu amic en ocupa cada cop menys.

Però tan bon punt el teu amic creua l'equador, passa una cosa estranya: comença a augmentar de mida, tot i que de fet continua allunyant-se. Això es deu al fet que el percentatge que ocupen al teu cercle visual està augmentant.

A tres metres del pol sud, el teu amic semblarà que està a tres metres de tu.

Havent arribat al pol sud, omplirà completament tot el vostre horitzó visible.

I quan no hi hagi ningú al pol sud, el teu horitzó visual serà encara més estrany: ets tu. Això és degut a que la llum que emets s'estendrà per l'esfera fins que torna.

Això afecta directament la vida al regne 3D. Cada punt de la trisfera té un contrari, i si hi ha un objecte, el veurem a tot el cel. Si no hi ha res, ens veurem al fons, com si la nostra aparença estigués superposada a un globus, després girada al revés i inflada fins a tot l'horitzó.

Però tot i que la trisfera és el model fonamental de la geometria esfèrica, està lluny de ser l'únic espai possible. Com que vam construir diferents models plans tallant i enganxant trossos d'espai euclidià, podem construir-ne d'esfèrics enganxant trossos de trisfera adequades. Cadascuna d'aquestes formes encolades tindrà, com el toro, l'efecte d'una "sala del riure", només el nombre d'habitacions en formes esfèriques serà finit.

I si el nostre univers fos esfèric?

Fins i tot els més narcisistes de nosaltres no ens veiem com el fons en lloc del cel nocturn. Però, com en el cas d'un tor pla, el fet que no veiem alguna cosa no vol dir en absolut que no existeixi. Els límits d'un univers esfèric poden ser més grans que els límits del món visible, i el fons simplement no és visible.

Però a diferència d'un torus, un univers esfèric es pot detectar mitjançant mesures locals. Les formes esfèriques es diferencien de l'espai euclidià infinit no només en la topologia global, sinó també en la geometria petita. Per exemple, atès que les rectes en geometria esfèrica són cercles grans, els triangles que hi ha són "grots" que els euclidians, i la suma dels seus angles supera els 180 graus.

Bàsicament, mesurar triangles còsmics és la forma principal de comprovar com de corbat és l'univers. Per a cada punt calent o fred del fons còsmic de microones, es coneix el seu diàmetre i la distància a la Terra, que formen els tres costats del triangle. Podem mesurar l'angle que forma la taca al cel nocturn, i aquesta serà una de les cantonades del triangle. Aleshores podem comprovar si la combinació de les longituds dels costats i la suma dels angles correspon a una geometria plana, esfèrica o hiperbòlica (on la suma dels angles del triangle és inferior a 180 graus).

La majoria d'aquests càlculs, juntament amb altres mesures de curvatura, suposen que l'univers és completament pla o molt a prop d'ell. Un equip d'investigació va suggerir recentment que algunes de les dades del 2018 del Telescopi espacial Planck parlen més a favor d'un univers esfèric, tot i que altres investigadors van argumentar que l'evidència presentada es podria atribuir a un error estadístic.

Geometria hiperbòlica

A diferència d'una esfera, que es tanca sobre si mateixa, la geometria hiperbòlica o l'espai amb curvatura negativa s'obre cap a l'exterior. Aquesta és la geometria del barret d'ala ampla, l'escull de corall i la cadira. El model bàsic de la geometria hiperbòlica és l'espai infinit, igual que l'euclidià pla. Però com que una forma hiperbòlica s'expandeix cap a l'exterior molt més ràpid que una plana, no hi ha manera d'encaixar ni tan sols un pla hiperbòlic bidimensional dins de l'espai euclidià ordinari, si no volem distorsionar-ne la geometria. Però hi ha una imatge distorsionada del pla hiperbòlic conegut com a disc de Poincaré.

Des del nostre punt de vista, els triangles propers al cercle límit semblen ser molt més petits que els propers al centre, però des del punt de vista de la geometria hiperbòlica, tots els triangles són iguals. Si intentéssim representar aquests triangles realment de la mateixa mida, potser utilitzant material elàstic i inflant cada triangle al seu torn, movent-se del centre cap a fora, el nostre disc s'assemblaria a un barret d'ala ampla i es doblegaria cada cop més. I a mesura que us acosteu a la frontera, aquesta curvatura es descontrolaria.

En la geometria euclidiana ordinària, la circumferència d'un cercle és directament proporcional al seu radi, però en la geometria hiperbòlica, el cercle creix exponencialment en relació amb el radi. Es forma una pila de triangles prop del límit del disc hiperbòlic

A causa d'aquesta característica, als matemàtics els agrada dir que és fàcil perdre's en l'espai hiperbòlic. Si el teu amic s'allunya de tu a l'espai euclidià normal, començarà a allunyar-se, però més aviat lentament, perquè el teu cercle visual no creix tan ràpidament. A l'espai hiperbòlic, el vostre cercle visual s'expandeix de manera exponencial, de manera que el vostre amic aviat es reduirà a un punt infinitament petit. Per tant, si no heu seguit la seva ruta, és poc probable que el trobeu més tard.

Fins i tot en la geometria hiperbòlica, la suma dels angles d'un triangle és inferior a 180 graus; per exemple, la suma dels angles d'alguns triangles del mosaic del disc de Poincaré és només de 165 graus.

Els seus costats semblen ser indirectes, però això és perquè estem observant la geometria hiperbòlica a través d'una lent distorsionant. Per a un habitant del disc de Poincaré, aquestes corbes són en realitat línies rectes, de manera que la manera més ràpida d'arribar del punt A al punt B (tots dos a la vora) és a través d'un tall cap al centre.

Hi ha una manera natural de fer un anàleg tridimensional del disc de Poincaré: agafa una bola tridimensional i omple-la amb formes tridimensionals, que disminueixen gradualment a mesura que s'acosten a l'esfera límit, com els triangles en un disc de Poincaré. I, com passa amb els plànols i les esferes, podem crear tota una sèrie d'altres espais hiperbòlics tridimensionals tallant peces adequades d'una bola hiperbòlica tridimensional i enganxant-ne les cares.

Bé, el nostre Univers és hiperbòlic?

La geometria hiperbòlica, amb els seus triangles estrets i cercles en creixement exponencial, no s'assembla gens a l'espai que ens envolta. De fet, com ja hem assenyalat, la majoria de les mesures cosmològiques s'inclinen cap a un univers pla.

Però no podem descartar que vivim en un món esfèric o hiperbòlic, perquè petits fragments d'ambdós mons semblen gairebé plans. Per exemple, la suma dels angles de petits triangles en geometria esfèrica és només una mica més de 180 graus, i en geometria hiperbòlica només és lleugerament inferior.

És per això que els antics pensaven que la Terra era plana: la curvatura de la Terra no és visible a simple vista. Com més gran és la forma esfèrica o hiperbòlica, més plana és cadascuna de les seves parts, per tant, si el nostre Univers té una forma esfèrica o hiperbòlica extremadament gran, la seva part visible és tan a prop plana que la seva curvatura només es pot detectar amb instruments ultraprecisos, i encara no els hem inventat….